Cette année, la Corse, ses plages de rêve, son soleil...

Le touriste, a priori pas math- a eu envie de visiter cette chapelle isolée dans la nature que l'on voit sur toutes les cartes postales, chapelle de Murato.

murato

Le math-touriste remarque immédiatement les superbes entrelacs gravés décorant l'une des fenêtres :

Cela m'a rappelé les noeuds de Lissajous ; et en effet, en cherchant empiriquement, j'ai constaté que si p est non multiple de 3, la courbe de Lissajous :

x= sin p.t , y = cos 3.t

répond bien aux 5 croisements pour chaque alternance haut/bas ou bas/haut.

Voici par exemple le cas p = 7, un peu dilaté :

Je constate, toujours empiriquement, que la courbe touche p fois les bords supérieur et inférieur.

Murato correspond alors à p = 22

Mais le sculpteur a laissé des brins libres aux extrémités ; voilà ci-dessous les extrémités complétées, bien maladroitement, pour correspondre au noeud de Lissajous :

entrelacs_cose_1

Maintenant, est-il possible de rajouter une troisième dimension à la courbe de Lissajous, de sorte qu'il y ait une alternance dessus/dessous des croisements ?

J'ai constaté empiriquement que oui, en rajoutant un z = sin r.t avec r égal au nombre de croisements de la courbe.

Par exemple, pour p = 7 il y a 32 croisements et x =sin 7t, y = cos 3t, z = sin 32t donne bien une alternance dessus/dessous !

J'ai obtenu, cette fois non empiriquement, que le nombre de croisements est égal à r = 5(p-1)+2=5p-3 .

Je conjecture donc que, pour p non multiple de 3 :

1) la courbe x = sin p.t , y = cos 3.t possède 5p - 3 points doubles

2) la courbe x = sin p.t , y = cos 3.t , z = sin r.t avec r = 5p - 3 est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt.

Sous la fenêtre, un autre entrelacs :

P1010650

Il ressemble au précédent dans son principe, mais il y a 4 croisements au lieu de 5 par alternance, et il est à 3 brins fermés:

mais il peut être rendu à un brin en modifiant les extrémités :

Et pourtant, je n'ai pas trouvé de courbe de Lissajous qui correspondrait à cette disposition !

Une autre chapelle située près de Bastia, la Canonica, est décorée par un entrelacs :

canonica

Celui-ci semble plus complexe, mais à étudier de près on remarque facilement sa structure formée d'un brin principal et de 12 brins en forme de trèfle, aucun brin n'étant noué lui-même.

J'ai trouvé sur internet une autre chapelle médiévale corse avec des motifs entrelacés, celle de San Quilico, au sud de Calvi.

Il y a cette fois 3 croisements par alternance, et deux brins enlacés.

Une Lissajous très proche : x = sin 13.t, y= sin 2.t, z = cos 37.t

D'où une conjecture similaire à la précédente, pour p impair :

1) la courbe x = sin p.t , y = sin 2.t possède 3p - 2 points doubles

2) la courbe x = sin p.t , y = sin 2.t , z = cos r.t avec r = 3p - 2 est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt.

Il y a donc de la généralisation dans l'air, mais cela n'a pas l'air simple ; avez vous remarqué que les sin et les cos ne sont pas à la même place dans les deux conjectures ?

Réponse de P. Delezoide :

"Le touriste conjecture que le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous

x=sin(p t) y= cos (3 t)

est 5p-3.

C’est exact, mais de manière plus générale le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous

x=cos(p t) y= cos(q t +phi)

p et q premiers entre eux, est (sauf pour certaines valeurs du déphasages pour lesquelles la courbe est une ligne parcourue dans un sens puis dans l’autre )

p(q-1)+q(p-1)

ce qui donne bien pour q=3, p 2+3(p-1)=5p-3 (si p n’est pas multiple de 3)."

Pour finir, voici quelques photos d'art islamique envoyées au math-touriste par Alain Esculier, comportant également des entrelacs...

Les noeuds corses

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