le math-touriste

27 octobre 2017

Les catènes du Havre

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Enfin autre chose que des entrelacs cet été (même si j'en ai vu de beaux sur une église en Catalogne).
Le Havre fête ses 500 ans par diverses manifestations artistiques, dont cet empilement de conteneurs. L'auteur, Vincent Ganivet, parle de "catène". Quelle belle appellation, bien meilleure que "chaînette", traduction du latin "catena", chaine !
On remarquera une jolie illusion d'optique : on a l'impression que le grand arc est tordu, mais non les bords sont bien situés dans un plan :

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La plupart des oeuvres ont été démontées, mais la catène restera, tant qu'elle ne nécessitera pas de réfection en tous cas.

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17 avril 2017

Noeuds à Héraklion et à Zurich.

Bon, ça devient un blog sur les noeuds ce blog du math-touriste !

Au Musée archéologique d'Héraklion, capitale de la Crète, j'ai remarqué ce vase, daté de -800/-700. Quels artistes ces Minoens (ou Mycéniens, ou Doriens ?) !

2017-04-05 13

Mais vous ne trouvez pas qu'il y a quelque-chose de faux ?

Voici en effet le diagramme :

Si on déplie les boucles de gauche, on obtient un simple noeud de Salomon !

Alors que par amour de la symétrie, et du nouage maximal, on aimerait avoir ceci :

Voulu, ou pas voulu ? En tous cas, un petit coup d'outil tampon permet de "rectifier" :

2017-04-05 13

Et il rejoint alors le noeud, celtique, ou mongol, 7.4 !

Il semblerait que ce noeud pose des problèmes aux artistes.  En effet, regardez cette photo (ratée) prise il y a peu au musée national suisse de Zurich (construit en 1898) !

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Mais le sculpteur s'est "rattrapé" avec le très original

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qui est du coup un entrelacs à deux brins et 8 croisements au lieu de 7 L8a7 dont je ne connais pas d'autres représentations artistiques.

 

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18 août 2016

Neues Museum à Berlin

Au Neues Museum de Berlin, il y a Néfertiti bien sûr...

mais aussi ceci :

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Linteau issu de l'ancienne basilique Saint-Pierre de Rome, marbre daté 731 -741 dit la notice.

Le noeud m'intéresse : il est fait de deux brins entrelacés qui serait l'ordre 13 de cette figure à l'ordre 4 :

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Si je ne m'abuse, à l'ordre n il y a 4n+2 croisements
à l'ordre 1,  c'est   http://katlas.org/wiki/L6a1
à l'ordre 2, c'est http://katlas.org/wiki/L10a87

Juste à côté, il y a

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Marbre du 9ème siècle qui ornait une fontaine à Venise.

Là il s'agit d'une somme de 4 noeuds de trèfle que l'on retrouve souvent dans les ornements celtiques comme par exemple ici.

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15 août 2016

D'une fête nautique aux anneaux de Borromée

Le 18 juin dernier, sympatique fête nautique à la base de Léry-Poses, près de Rouen.

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Je photographie ce noeud de fin de cordage :

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Il forme un joli cube ; et chaque série de 4 cordages en enserre une autre, et se fait enserrer par une troisième...

Bon sang mais c'est bien sûr, ce sont des anneaux borroméens !

Je cherche sur internet le nom de ce noeud marin : une pomme de touline, ou poing de singe.

Mais Nico-matelotage est la bible des noeuds marins. Je suis son montage pour voir ce que donne la pomme de touline losqu'on la fait à un brin, en prenant une boite transparente au lieu d'une bille :

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J'ai bien respecté l'alternance dessus-dessous.

J'enlève la ficelle et démèle jusqu'à obtenir un noeud à plat ayant 8 croisements alternés dessus-dessous.

Knotilus me permet alors d'avoir le type du noeud : c'est le 8.17 dans la table de Rolfsen.

Et ça a l'air d'être le noeud préféré d'un mathématicien qui l'a fait empierrer dans son jardin...

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Mais au fond, quel noeud donne le ficelage classique d'un paquet suivant ?

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Essayez, c'est un simple noeud de trèfle !

 

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02 août 2016

ELLIPTIQUE ????

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Machine de cardio sur la plage de Fécamp.

Mes pieds décrivent des courbes du trois-barres :

Or ces vélos sont dits elliptiques : je me demande bien où se trouvent les ellipses dans l'histoire.

Peut-être parce que les barres sont courbées ?

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18 juillet 2015

Visite du château de Blois, juin 2015

Le château de Blois recèle, entre autres, de nombreux trésors géométriques !

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Ce beau nœud  de huit symbolise les liens entre le royaume de France, et le duché de Bretagne.

 

 

 

 

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Mon attention a été attirée par ce carreau représentant un nœud  que j'ai pris au premier abord pour un nœud de Salomon (deux ovales entrelacés).

 

Mais à l'examen, les brins semblent se prolonger, et, en utilisant l'image miroir du carreau, j'ai obtenu la figure ci-dessous :

 

 

 

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On obtient un superbe entrelacement d'octogones, un peu à la manière des motifs islamiques, pour ce château pourtant très catholique !

 

 

 

 

Les fenêtres en vitrail de ce château sont également superbes !

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Mon préféré est ce pavage par des hexagones dont les bords ont été élargis en bandes entrelacées.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Ce vitrail possède une trame carrée de base, mais quelle ingéniosité dans les formes !

Des artistes de même niveau que ceux de l'Alhambra !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Un dernier pour la route !

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24 août 2014

2014 : des polyèdres et des pavages, à Marrakech et ailleurs

Belle moisson de polyèdres en cette année 2014 :

Regardez ce beau lustre, photographié dans une maison de Morat (Suisse) globe

Pas facile de retrouver sa structure, mais mon ami Robert March l'a fait : c'est un dodécaèdre adouci : étonnant, vue la complexité de ce polyèdre !

Les deux photos suivantes ont été prises au musée du compagnonage à Tours :

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Il s'agit de marquetteries d'un icosidodécaèdre et d'un icosaèdre tronqué ou ballon de foot...

J'ai retrouvé des marquetteries de ballons de foot très similaires cet été au Maroc au milieu d'une profusion d'autres productions des artisans marocains.

Ces artisans sont aussi spécialistes des lanternes en fer forgé de formes diverses et variées, dont des polyèdres...

Les deux lanternes ci-dessous photographiées à Marrakech ont aussi la structure du ballon de foot.

Cela se voit bien pour la première (les ronds colorés correspondent aux pentagones), moins pour la deuxième ...

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Celle-ci a la structure d'un petit dodécaèdre étoilé : partir d'un dodécaèdre classique, et prolonger les arêtes jusqu'à ce qu'elles se rejoignent.

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14 septembre 2013

Florence 2013

Voyage à Florence et Pise ; du haut de la tour de Pise (site génial, il faut y aller), on voit ce dôme hémisphérique.

dome pise
Le centre K d'une tuile de la rangée n+1 étant au droit de la jonction de deux tuiles de centres I et J de la rangée nIK et JK forment des angles de 45° avec le parallèle passant par I et J ;  les centres successifs des tuiles suivent des loxodromies à 45°.

 

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09 septembre 2012

LONDON 2012

Pas de grande moisson pour le math-touriste depuis 2 ans ; cet été, quand même, lors d'un voyage à Londre pour les jeux paralympiques, j'ai photographié ce magnifique pavage (décoration d'un batiment près de Greenwich), dans le style des pavages islamiques, mais avec des fantaisies....

Londres_2012_Paralympic_games_118__1_

 

D'autre part Alain Esculier m'a envoyé cette photo d'une structure en bois prise à Séville (anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge/cyan) . Les planches matérialisent bien les lignes de coordonnées de la surface, mais il n'y a aucune indication mathématique sur la nature de cette surface dans l'article wikipedia...

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19 août 2010

Les noeuds corses

Cette année, la Corse, ses plages de rêve, son soleil...

Le touriste, a priori pas math- a eu envie de visiter cette chapelle isolée dans la nature que l'on voit sur toutes les cartes postales, chapelle de Murato.

murato

Le math-touriste remarque immédiatement les superbes entrelacs gravés décorant l'une des fenêtres :

P1010649

Cela m'a rappelé les noeuds de Lissajous ; et en effet, en cherchant empiriquement, j'ai constaté que si p est non multiple de 3, la courbe de Lissajous :  

x= sin p.t  , y = cos 3.t

répond bien aux 5 croisements pour chaque alternance haut/bas ou bas/haut.

Voici par exemple le cas p = 7, un peu dilaté :

lissajous_73

Je constate, toujours empiriquement, que la courbe touche p fois les bords supérieur et inférieur.

Murato correspond alors à p = 22

lissajous_223

Mais le sculpteur a laissé des brins libres aux extrémités ; voilà ci-dessous les extrémités complétées, bien maladroitement,  pour correspondre au noeud de Lissajous :

entrelacs_cose_1

Maintenant, est-il possible de rajouter une troisième dimension à la courbe de Lissajous, de sorte qu'il y ait une alternance dessus/dessous des croisements ?

J'ai constaté empiriquement que oui, en rajoutant un z = sin r.t avec r égal au nombre de croisements de la courbe.

Par exemple, pour p = 7 il y a 32 croisements et x =sin 7t, y = cos 3t,  z = sin 32t  donne bien une alternance dessus/dessous !

lissajous_73dd

J'ai obtenu, cette fois non empiriquement, que le nombre de croisements est égal à r = 5(p-1)+2=5p-3 .

Je conjecture donc que, pour p non multiple de 3 :

1)  la courbe x = sin p.t ,  y = cos 3.t  possède 5p - 3 points doubles 

2) la courbe x = sin p.t ,  y = cos 3.t , z = sin r.t  avec r = 5p - 3  est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt. 

Sous la fenêtre, un autre entrelacs :

P1010650

Il ressemble au précédent dans son principe, mais il y a 4 croisements au lieu de 5 par alternance, et il est à 3 brins fermés:

murato_long_trace

mais il peut être rendu à un brin en modifiant les extrémités :

murato_long_trace2

Et pourtant, je n'ai pas trouvé de courbe de Lissajous qui correspondrait à cette disposition !

Une autre chapelle située près de Bastia, la Canonica, est décorée par un entrelacs :

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Celui-ci semble plus complexe, mais à étudier de près on remarque facilement sa structure formée d'un brin principal et de 12 brins en forme de trèfle, aucun brin n'étant noué lui-même.

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J'ai trouvé sur internet une autre chapelle médiévale corse avec des motifs entrelacés, celle de San Quilico, au sud de Calvi.

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Il y a cette fois 3 croisements par alternance, et deux brins enlacés.

Une Lissajous très proche : x = sin 13.t,  y= sin 2.t,  z = cos 37.t

lissajous_quilico

D'où une conjecture similaire à la précédente, pour p impair :

 

1)  la courbe x = sin p.t ,  y = sin 2.t  possède 3p - 2 points doubles 

2) la courbe x = sin p.t ,  y = sin 2.t , z = cos r.t  avec r = 3p - 2 est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt. 

Il y a donc de la généralisation dans l'air, mais cela n'a pas l'air simple ; avez vous remarqué que les sin et les cos ne sont pas à la même place dans les deux conjectures ?

Réponse de P. Delezoide :

"Le touriste conjecture que le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous 
x=sin(p t)     y= cos (3 t)
 est 5p-3.
C’est exact, mais de manière plus générale le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous
x=cos(p t)   y= cos(q t +phi)
p et q premiers entre eux, est (sauf pour certaines valeurs du déphasages pour lesquelles la courbe est une ligne parcourue dans un sens puis dans l’autre )

p(q-1)+q(p-1)

ce qui donne bien pour q=3,  p 2+3(p-1)=5p-3 (si p n’est pas multiple de 3)."

Pour finir, voici quelques photos d'art islamique envoyées au math-touriste par Alain Esculier, comportant également des entrelacs...

 

IMG_1751_bisIMG_1760_bis

IMG_1759_bis

 

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