Les noeuds corses

Cette année, la Corse, ses plages de rêve, son soleil...

Le touriste, a priori pas math- a eu envie de visiter cette chapelle isolée dans la nature que l'on voit sur toutes les cartes postales, chapelle de Murato.

Le math-touriste remarque immédiatement les superbes entrelacs gravés décorant l'une des fenêtres :

Cela m'a rappelé les noeuds de Lissajous ; et en effet, en cherchant empiriquement, j'ai constaté que si p est non multiple de 3, la courbe de Lissajous :  

x= sin p.t  , y = cos 3.t

répond bien aux 5 croisements pour chaque alternance haut/bas ou bas/haut.

Voici par exemple le cas p = 7, un peu dilaté :

Je constate, toujours empiriquement, que la courbe touche p fois les bords supérieur et inférieur.

Murato correspond alors à p = 22

Mais le sculpteur a laissé des brins libres aux extrémités ; voilà ci-dessous les extrémités complétées, bien maladroitement,  pour correspondre au noeud de Lissajous :

Maintenant, est-il possible de rajouter une troisième dimension à la courbe de Lissajous, de sorte qu'il y ait une alternance dessus/dessous des croisements ?

J'ai constaté empiriquement que oui, en rajoutant un z = sin r.t avec r égal au nombre de croisements de la courbe.

Par exemple, pour p = 7 il y a 32 croisements et x =sin 7t, y = cos 3t,  z = sin 32t  donne bien une alternance dessus/dessous !

J'ai obtenu, cette fois non empiriquement, que le nombre de croisements est égal à r = 5(p-1)+2=5p-3 .

Je conjecture donc que, pour p non multiple de 3 :

1)  la courbe x = sin p.t ,  y = cos 3.t  possède 5p - 3 points doubles 

2) la courbe x = sin p.t ,  y = cos 3.t , z = sin r.t  avec r = 5p - 3  est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt. 

Sous la fenêtre, un autre entrelacs :

Il ressemble au précédent dans son principe, mais il y a 4 croisements au lieu de 5 par alternance, et il est à 3 brins fermés:

mais il peut être rendu à un brin en modifiant les extrémités :

Et pourtant, je n'ai pas trouvé de courbe de Lissajous qui correspondrait à cette disposition !

Une autre chapelle située près de Bastia, la Canonica, est décorée par un entrelacs :

Celui-ci semble plus complexe, mais à étudier de près on remarque facilement sa structure formée d'un brin principal et de 12 brins en forme de trèfle, aucun brin n'étant noué lui-même.

J'ai trouvé sur internet une autre chapelle médiévale corse avec des motifs entrelacés, celle de San Quilico, au sud de Calvi.

Il y a cette fois 3 croisements par alternance, et deux brins enlacés.

Une Lissajous très proche : x = sin 13.t,  y= sin 2.t,  z = cos 37.t

D'où une conjecture similaire à la précédente, pour p impair :

1)  la courbe x = sin p.t ,  y = sin 2.t  possède 3p - 2 points doubles 

2) la courbe x = sin p.t ,  y = sin 2.t , z = cos r.t  avec r = 3p - 2 est telle que l'altitude aux points doubles précédents est alternativement positive et négative lorsqu'on la parcourt. 

Il y a donc de la généralisation dans l'air, mais cela n'a pas l'air simple ; avez vous remarqué que les sin et les cos ne sont pas à la même place dans les deux conjectures ?

Réponse de P. Delezoide :

"Le touriste conjecture que le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous 

x=sin(p t)     y= cos (3 t)

 est 5p-3.

C’est exact, mais de manière plus générale le nombre de points doubles de la courbe de Lissajous

x=cos(p t)   y= cos(q t +phi)

p et q premiers entre eux, est (sauf pour certaines valeurs du déphasages pour lesquelles la courbe est une ligne parcourue dans un sens puis dans l’autre )

p(q-1)+q(p-1)

ce qui donne bien pour q=3,  p 2+3(p-1)=5p-3 (si p n’est pas multiple de 3)."

Pour finir, voici quelques photos d'art islamique envoyées au math-touriste par Alain Esculier, comportant également des entrelacs...

Comments

[Christian Mercat]

Bonjour, pour ce qui concerne le nombre de brins dans un entrelacs rectangulaire, le PGCD vient à la rescousse: http://www.entrelacs.net/Nombre-de-brins http://www.entrelacs.net/How-many-strings Cordialement, Christian Mercat

[JLM]

bonjour,

je n'ai pas trouvé d'autre lien fonctionnant pour un contact.

La morphogenèse m'intéresse (quand j'ai le temps).Comment appelle-t-on ou comment pourrait-on appeler la courbe 3D(log,log,log)(3 dimensions en repères logarithmiques) du produit vectoriel d'un segment et d'un cercle,ou d'un rayon et de sa circonférence,et par extension d'un segment et de cycloïdes.

Merci.

Salutations.

et encore merci pour votre site inépuisable.

[peter]

salut, pourquoi surligner les courbes en jaunes, enfin, je veux dire, c'est pas une mauvaise idée, mais c'est pas très bien fait, du coup, ça gâche un peu!
Bye