le math-touriste

Se baladant dans Rouen, notre attention a été attirée par cette originale rosace. Si on compte les branches de l'étoile, il y en a sept ! Pas du tout ordinaire... Les rosaces d'église ont en général des symétries d'ordre 6, 8 (ND de Paris), 12 (Reims). Elle est située sur le temple protestant Saint-Éloi, qui était tout de même anciennement une église.
Les bâtisseurs n'ont apparemment pas été gênés par la non constructibilité de l'heptagone.
En cherchant sur internet, j'en ai trouvé une autre :

à Caussade dans Le Lot-et-Garonne.
Notez qu'à Rouen l'étoile joint les sommets de l'heptagone de trois en trois (heptagramme 7/3), et à Caussade de deux en deux (heptagramme 7/2).
En connaissez-vous d'autres?

Beau circuit à vélo cette année : le tour de la Seine maritime. Près de Veulettes, étape dans un étonnant village de yourtes : Rando-yourte.

Les yourtes, qui ont été construites en Mongolie, sont extrêmement joliment décorées.

Ci-contre, un classique nœud sans fin mongol.
Mathématiquement, c'est un nœud à 7 croisements (les deux croisements du haut et du bas se dénouent).

Il s'agit du 7_4.

J'aime beaucoup les deux décos du haut et du bas qui "empêchent" les deux dénouements ci dessus.

Les deux ornements ci-dessous sont des non-noeuds (unknots en anglais). Mathématiquement, ils sont équivalents à des cercles 🙁.

Le nœud ci-dessous présente un croisement dénouable. Si on joint les deux bouts, il s'agit d'un nœud de trèfle.

 Terminons par ce superbe entrelacs de quatre cercles et un carré.

Si l'on ne considère que les cercles, chacun croisant deux fois chacun des trois cercles, il y a 4 x 6 / 2 = 12 croisements. De plus remarquons que les cercles sont deux à deux non noués. Ils forment donc trois à trois des  anneaux de Borromée.

On retrouve cet entrelacs dans le paragraphe III de ce lien mais les anneaux sont ici deux à deux noués...
Le carré ajoute 8 croisements ce qui en fait donc 20 en tout. Notons que le carré est noué avec chaque cercle.

On peut faire du tourisme avec google maps maintenant !
Pour compléter https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_sujets_portant_le_nom_de_Leonhard_Euler, je me suis mis à chercher les rues Euler.

Il y en a tout de même sept en France, à Paris, Lille, Créteil (rue Leonhard Euler), à Dijon (rue Léonard Euler), à Nîmes, à Evreux, à Mérignac. Mais il faut remarquer qu'à part celle de Paris, elle sont toutes situées soit dans des cités, soit dans des zones d'activités.

(merci à qui m'enverra de meilleures photos !)

La rue Euler d'Evreux (minuscule) et celle de Mérignac ne semblent pas avoir de plaque.

Étonnant : pas de rue Euler en Suisse romande, mais il y a évidemment une Eulerstrasse dans sa ville de naissance : Bâle. C'est cependant une rue résidentielle, pas particulièrement touristique.
Et bizarrement, la google car n'y est pas passée ; par contre elle est passée dans son prolongement, la Leonhardstrasse ; celle-ci honore-t-elle Euler ou un autre Léonard ? Mystère.

Il y a aussi une Eulerstrasse à Berlin (Est je pense), également dans un quartier non touristique, et également sans street view. 

Merci à Yves Maniette pour l'envoi de cette plaque photographiée à Viernheim, petite bourgade près de Mannheim :

A Leverkusen, à côté de la rue Gauss :

Il faudrait aussi aller voir à Saint Petersbourg...
 

On revient sur des entrelacs, ni romains, ni celtiques, ni islamiques, puisqu'ils proviennent d'une église d'Occitanie du 16ème siècle : l'église Saint-Pierre de Bessuéjouls, en Aveyron.

 Entrelacs formé de trois boucles (deux ovales et un cercle) et un noeud somme de deux noeuds de trèfle.

Cinq ans sans un billet ! C'est à cause du covid :-)...

Pour une fois le math-touriste sera à Paris, à la bourse du commerce rénovée, plus précisément.
Pinault en a fait un temple de l'art contemporain, mais ce superbe batiment recèle quelques trésors mathématiques.

Tout d'abord un escalier à double révolution, moins célèbre que celui de Chambord. Ses deux rampes évitaient aux paysans montant leurs sacs de blé, de croiser ceux qui descendaient (car c'était au départ un silo à grain).

On en trouve un autre au siège de la Banque de France, rue Radzivil, et encore un à celui du Crédit lyonnais.

Voici une photo, non de la coupole, mais de son reflet sur les murs intérieurs.

On y voit bien la projection du réseau des armatures suivant méridiens et parallèles de la surface.

Et je suis tombé en admiration devant cette carte du monde représenté dans deux disques :

On peut noter que le pôle nord étant un point et non un segment, le Groenland n'a pas la dimension démesurée qu'il a sur les cartes rectangulaires classiques.
Je me suis demandé quel était le type de projection utilisé.
Manifestement les méridiens sont des arcs de cercles joignant le pôle nord et le pôle sud. J'ai un moment pensé que les parallèles étaient des cercles centrés aux deux pôles, mais non !

Manifestement les parallèles et méridiens projetés se coupent à angle droit, chaque réseau est formé des trajectoires orthogonales de l'autre.
Dans un repère évident, la famille des cercles passant par (0,1) et (0,-1) a pour équation (x-a)^2+y^2=a^2+1 ; en passant par l'équation différentielle, j'ai obtenu celle du réseau orthogonal : x^2+(y-b)^2=b^2-1 : des cercles centrés sur l'axe des y mais non concentriques...

Mais c'est bien sûr ! Le premier réseau est un faisceau de cercles à points de base, et le deuxième son faisceau conjugué !

Et y a-t-il un moyen simple de passer de la sphère au plan ?

Cette carte ne vous fait-elle pas penser à ces photos maintenant habituelles de notre planète vue du ciel ?

Ne s'agirait-il donc pas d'une projection stéréographique, autrement dit une projection centrale sur un plan ?

Mais attention, pour que les parallèles et méridiens se projettent en des cercles, il faut que le centre de projection se trouve sur la sphère.

J'ai pris le centre en (-1,0,0) ; la projection transforme M(x, y, z) en M'(1, 2y/(x+1), 2z/(x+1)).

Le tracé des méridiens et parallèles de l'hémisphère obtenu pour x >=1 donne alors ce que j'attendais :

En mettant le centre en (2, 0, 0), on obtient :

dont il faudrait éliminer les parties cachées. Les parallèles et méridiens deviennent elliptiques, comme toute section d'un cône par un plan.

Après coup j'ai retrouvé plusieurs cartes anciennes utilisant cette double projection stéréographique équatoriale, comme ce superbe exemplaire datant de 1626 dû à John Speed.

Ainsi que cette mappemonde de LaHire de 1840 : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b530937283/f1.item.zoom

où le centre de projection doit etre en dehors de la sphère , les parallèles étant elliptiques.

Souvent, la projection stéréographique est utilisée pour montrer ce qui se passe aux pôles ; le centre de projection se trouve alors au pôle opposé :

Les méridiens sont alors de simples droites, et les parallèles des cercles concentriques.

Enfin autre chose que des entrelacs cet été (même si j'en ai vu de beaux sur une église en Catalogne).
Le Havre fête ses 500 ans par diverses manifestations artistiques, dont cet empilement de conteneurs. L'auteur, Vincent Ganivet, parle de "catène". Quelle belle appellation, bien meilleure que "chaînette", traduction du latin "catena", chaine !
On remarquera une jolie illusion d'optique : on a l'impression que le grand arc est tordu, mais non les bords sont bien situés dans un plan :

La plupart des oeuvres ont été démontées, mais la catène restera, tant qu'elle ne nécessitera pas de réfection en tous cas.

Bon, ça devient un blog sur les noeuds ce blog du math-touriste !

Au Musée archéologique d'Héraklion, capitale de la Crète, j'ai remarqué ce vase, daté de -800/-700. Quels artistes ces Minoens (ou Mycéniens, ou Doriens ?) !

Mais vous ne trouvez pas qu'il y a quelque-chose de faux ?

Voici en effet le diagramme :

Si on déplie les boucles de gauche, on obtient un simple noeud de Salomon !

Alors que par amour de la symétrie, et du nouage maximal, on aimerait avoir ceci :

Voulu, ou pas voulu ? En tous cas, un petit coup d'outil tampon permet de "rectifier" :

Et il rejoint alors le noeud, celtique, ou mongol, 7.4 !

Il semblerait que ce noeud pose des problèmes aux artistes.  En effet, regardez cette photo (ratée) prise il y a peu au musée national suisse de Zurich (construit en 1898) !

Mais le sculpteur s'est "rattrapé" avec le très original

qui est du coup un entrelacs à deux brins et 8 croisements au lieu de 7 L8a7 dont je ne connais pas d'autres représentations artistiques.

Au Neues Museum de Berlin, il y a Néfertiti bien sûr...

mais aussi ceci :

Linteau issu de l'ancienne basilique Saint-Pierre de Rome, marbre daté 731 -741 dit la notice.

Le noeud m'intéresse : il est fait de deux brins entrelacés qui serait l'ordre 13 de cette figure à l'ordre 4 :

Si je ne m'abuse, à l'ordre n il y a 4n+2 croisements
à l'ordre 1,  c'est   http://katlas.org/wiki/L6a1
à l'ordre 2, c'est http://katlas.org/wiki/L10a87

Juste à côté, il y a

Marbre du 9ème siècle qui ornait une fontaine à Venise.

Là il s'agit d'une somme de 4 noeuds de trèfle que l'on retrouve souvent dans les ornements celtiques comme par exemple ici.

Le 18 juin dernier, sympatique fête nautique à la base de Léry-Poses, près de Rouen.

Je photographie ce noeud de fin de cordage :

Il forme un joli cube ; et chaque série de 4 cordages en enserre une autre, et se fait enserrer par une troisième...

Bon sang mais c'est bien sûr, ce sont des anneaux borroméens !

Je cherche sur internet le nom de ce noeud marin : une pomme de touline, ou poing de singe.

Mais Nico-matelotage est la bible des noeuds marins. Je suis son montage pour voir ce que donne la pomme de touline losqu'on la fait à un brin, en prenant une boite transparente au lieu d'une bille :

J'ai bien respecté l'alternance dessus-dessous.

J'enlève la ficelle et démèle jusqu'à obtenir un noeud à plat ayant 8 croisements alternés dessus-dessous.

Knotilus me permet alors d'avoir le type du noeud : c'est le 8.17 dans la table de Rolfsen.

Et ça a l'air d'être le noeud préféré d'un mathématicien qui l'a fait empierrer dans son jardin...

Mais au fond, quel noeud donne le ficelage classique d'un paquet suivant ?

Essayez, c'est un simple noeud de trèfle !

Machine de cardio sur la plage de Fécamp.

Mes pieds décrivent des courbes du trois-barres :

Or ces vélos sont dits elliptiques : je me demande bien où se trouvent les ellipses dans l'histoire.

Peut-être parce que les barres sont courbées ?