le math-touriste

Des moines en Allemagne et des Romains à New York

rferreol — Tue, 11 Aug 2009 19:40:00 GMT

Cette année, le math-touriste est branché pavages...

En séjour à Tübingen, charmante ville universitaire au sud de Stuttgart, nos hôtes nous proposent de visiter dans les environs un monastère : moi qui ne suis pas un fan de ce genre de visite, je confirme que cela vaut le détour !

Nous allons nous arrêter sur un dallage fabriqué par les moines de Bebenhausen:

Ce qui m'a attiré est la combinaison pavage périodique et entrelacs ! Topologiquement, c'est le même entrelacs que celui que j'avais vu à la cité interdite de Pékin, à voir en bas de cette page.

Vous pouvez le télécharger comme fond d'écran et le faire afficher en mosaïque.

Ce carrelage pave le dortoir des moines, mais il y a une salle présentant de très nombreux motifs de la même veine : je les ai malheureusement photographiés avec flash, lequel s'est reflété ; quelqu'un y retournera-t-il à ma place ?

Puis cet été, New York pour fêter l'élection d'Obama !

La moisson mathématique a été maigre, et pas très américaine...

Voici l'une des innombrables pièces du metropolitan museum of art, une mosaïque en provenance d'Antioche (en Turquie aujourd'hui) créée par des Romains au faîte de leur art :

Le personnage (Bacchus) au centre est superbe, mais ce qui m'intéresse ici, c'est le pavage, uniquement formé de carrés et de losanges, et qui peut être obtenu par un réseau de carrés articulés en certains sommets ; voir cette page.

Question : les Romains voyaient-ils la figure dans l'espace (où les losanges horizontaux sont en fait des perspectives de carrés) et si oui, l'ont-ils fait volontairement ?

Complétons tout de même par la photo ci-dessous envoyée par Carlos Sacré au math-touriste : il s'agit de symboles astronomiques et instruments décorant la façade d'un bâtiment de l'université de Vilnius :

Derché chez les ch'tis

rferreol — Fri, 25 Jul 2008 17:48:00 GMT

Cette année il y avait peu de chose prévues au niveau mathématiques, mais on tombe toujours sur des occasions !

Atteints de ch'ti mania, nous sommes allés à Bergues, ville fortifiée où j'ai eu la surprise de pouvoir photographier un pont-levis système Derché.

Le pont-levis n'est évidement plus levis, mais il reste le système photographié ci-dessus.

Pas facile de trouver une référence sur Derché sur internet à cause d'une homonymie avec le mot sans l'accent aigu, beaucoup plus attractif ! Mais en voici une :

http://www.google.com/books?id=t-4EAAAAQAAJ&pg=RA4-PA441&dq=pont-levis+derch%C3%A9&hl=frVoici donc ce que je comprends de ce système :

Ce qui m'intéresse, c'est la spirale.

Je pense que cette spirale est en gros du type Archimède...

En effet si son équation est rho = f(theta), il faut que rho soit proportionnel à la tension de la chaine retenant le pont, or theta est une fonction affine de la longueur de la chaine retenant le contre-poids, et la tension également donc f est affine, donc la spirale est une spirale d'Archimède ? A vérifier !

Mais revenons aux ch'tis, avec cette vue du fameux beffroi, pour ceux qui ont vu le film !

Fort l'écluse

rferreol — Sun, 20 Jul 2008 14:58:00 GMT

Lors de notre séjour en Suisse, nous sommes allés visiter Fort-l'écluse, un superbe fort près de Bellegarde qui garde l'entrée dans le bassin lémanique depuis la France.

Le fort, qui était abandonné, est en cours de restauration. Le jeune guide était passionné donc passionnant, même si parfois quelques explications scientifiques laissaient dubitatif.

De Fort-l'écluse, le math touriste retiendra un beau cadran solaire

Et de nouveau un pont-levis, (même trois)!

Deux d'entre eux sont, eux, du système Bélidor, le troisième, non visitable, est du système Derché comme celui de Bergues.

Tout est expliqué sur le système Bélidor dans :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/pontlevis/pontlevis.shtml

Le guide a longuement parlé des problèmes techniques d'équilibre des deux roues, mais pas un mot sur la nature de la courbe !

Bâle

rferreol — Fri, 03 Aug 2007 07:54:00 GMT

Cette année le math-touriste est parti à Bâle sur les traces d'Euler, à l'occasion du tricentenaire de sa naissance.
Mais les manifestations étaient plutôt en veilleuse en août, et surtout le premier de ce mois, jour de la "Bundesfeier", où la ville était nettement plus tournée vers la bière, les saucisses et les feux d'artifices...
Le musée d'histoire naturelle abritant l'exposition étant fermé, j'ai pu quand même saluer le grand mathématicien par son célèbre portrait (Emanuel Handmann, 1753) qui se trouve au Kunstmuseum :

Par contre, regardez le nom de la rue en face de l'hôtel, choisi au hasard parmi les deux étoiles !

Car en fait, les mathématiciens de Bâle, ce sont plutôt les Bernoulli ; Euler est né à Bâle, mais a professé à Saint Pétersbourg.
Remarquons en passant qu'on dit la rue Bernoulli, comme on dit la place Carnot : c'est le privilège des dynasties.

La cathédrale de Bâle, superbe avec son toit décoré et ses pierres rouges était elle aussi fermée le premier août, mais la tombe de Jacques Bernoulli se trouve dans un péristyle attenant. C'est d'ailleurs plutôt une stèle ; le cercueil se trouve-t-il derrière ?
On trouvera ici un agrandissement de la fameuse spirale logarithmique qui n'en est pas une, située en bas de la stèle.

A Bâle, le math-touriste qui a un petit côté physicien s'intéressera aussi aux pittoresques bacs qui permettent de traverser le Rhin :

Ces bacs sont attachés par un câble à un autre qui joint les deux rives et je pensais bêtement qu'il y avait un moteur comme pour les téléphériques : pas du tout ! La force utilisée est celle du courant : le passeur n'a qu'à changer la position du gouvernail et le bac repart dans l'autre sens, à bonne allure !

Terminons sur Bâle avec une pub pour beau livre déniché à la librairie du Kunstmuseum, intitulé : une collection de formes esthétiques à définition mathématiques (Martin Hesse, Formvollendet, Niggli, Zurich, 2005).

Strasbourg

rferreol — Thu, 02 Aug 2007 06:17:00 GMT

A Strasbourg, point de grand mathématicien que je sache, mais cette ville, de toutes façons superbe, recèle quelques petits trésors mathématiques...A commencer par ce globe en vert à découpage dodécaédrique au centre du parlement européen :

Et une superbe chaise au dossier noué, située au musée alsacien :

J'ai reproduit ce noeud à neuf croisements (les deux du bas sont uniquement esthétiques) en utilisant seulement 6 arcs de cercles. Je pense que sa beauté réside justement dans la simplicité des formes et la symétrie, en contraste avec le fort enchevêtrement.

J'ai envoyé le noeud à knotsketcher qui m'a renvoyé la DT notation : -6 16 -14 -12 4 -2 -18 -10 8 et knot finder a déterminé que le noeud alsacien est le 42ème noeud premier à 9 croisements.

Si vous avez cliqué sur le lien vous aurez remarqué que le noeud officiel est nettement moins symétrique. Peut être est-ce dû au fait que le noeud de la chaise ne respecte pas l'alternance dessus-dessous des croisements ?

Je suis donc retourné à knotsketcher en modifiant la position des croisements et suis alors tombé sur le 40ème noeud à 9 croisements dont la figure est bien équivalente à celle formée par le noeud du dossier.

Je vais leur écrire pour leur demander de baptiser ce noeud le noeud alsacien !

Terminons par un petit collier à perles cuboctaédriques situé au musée de l'Oeuvre Notre-Dame, à côté de la cathédrale :

Et surtout par l'escalier de ce dit musée : sa rampe se termine par trois anneaux enlacés qui sont trois cercles de Villarceau d'un tore :

et la voûte forme une superbe rosace hexagonale :

La rameille

rferreol — Fri, 25 Aug 2006 21:05:00 GMT

Annie Michel-Pajus envoie cette photo au math-touriste :

"La structure mathématique est assez primitive, mais justement, il s'agit 
d'une fabrication ancestrale et annuelle. 
Elle est ensuite recouverte de feuillages, nommée "la rameille" ( rameio, en Sigalois) 
pour former un chapiteau destiné à abriter la fête patronale de mon village d'origine : 
Sigale ( Alpes Maritimes). 
On aperçoit à travers un des monuments caractéristiques du village : son clocher."

La sagrada familia

rferreol — Thu, 24 Aug 2006 06:36:00 GMT

A Barcelone le monument N°1, c'est la sagrada familia. En voyant de loin les grues, je me suis dit zut elle est en réfection ; en fait pas du tout, elle est en construction ! Et ce depuis plus d'un siècle, et si tout va bien, l'inauguration sera pour 2025 ; et ce n'est pas parce que les ouvriers ne travaillent pas : on n'entend que des bruits de scies électriques et de coups de marteau...

Pour les amoureux des courbes et surfaces comme moi, la sagrada familia, c'est le rêve.

On verra ci-dessous un escalier en colimaçon dont la perspective est une spirale hyperbolique, un superbe plafond en brique épousant les formes de paraboloïdes hyperboliques, et un bâtiment dont le toît est formé d'une surface réglée ondulante que j'ai baptisée surface de Gaudi.

La sagrada famillia a deux portails achevés, très différents, celui de la nativité, et celui de la passion.
Celui de la passion est orné par des sculptures de Josep Subirachs ; les deux amoureux ci-dessous, en fait, c'est Judas qui fait le baiser du traître à Jésus.
Mais à côté, il y a un carré numérique, qui est un carré magique de somme 33 obtenue non seulement par les 10 lignes, colonnes et diagonales, mais par en tout 310 regroupements de 4 cases, sur les C(16,4)=1820 possibles (dixit le panneau explicatif) !

Seul défaut du carré tout de même : il n'y a pas tous les nombres de 1 à 16 (10 et 14 sont répétés deux fois) ; la somme est donc 33 au lieu de 34, mais oh miracle 33, c'est la durée de vie du Christ !

Pour faire 33, hormis les 10 lignes colonnes et diagonales, j'ai trouvé les 5 carrés de 4 en coin et central, les 4 coins, 14+14+2+3, 11+8+9+5, les deux zigzags verticaux 14+7+10+2 et 14+6+10+3 (mais pas les horizontaux), mais ça n'en fait que 20 sur 310 !

Le carré de Subirachs

rferreol — Wed, 23 Aug 2006 06:31:00 GMT

Pour en avoir le coeur net sur les 310 sommes égales à 33 j'ai fait dans maple :
A:=[1,14,14,4,11,7,6,9,8,10,10,5,13,2,3,15]:S:=33: q:=0:for i to 16 do for j from i+1 to 16 do for k from j+1 to 16 do for l from k+1 to 16 do if A[i]+A[j]+A[k]+A[l]=S then q:=q+1 fi od od od od:q;

Réponse : q = seulement 88 ! Et les combinaisons sont :

[1,14,14,4] [1,14,11,7] [1,14,8,10] [1,14,8,10] [1,14,5,13] [1,14,3,15] [1,14,11,7] [1,14,8,10] [1,14,8,10] [1,14,5,13] [1,14,3,15] [1,4,13,15] [1,11,6,15] [1,11,8,13] [1,7,10,15] [1,7,10,15] [1,9,8,15] [1,9,10,13] [1,9,10,13] [14,14,2,3] [14,4,7,8] [14,4,6,9] [14,4,10,5] [14,4,10,5] [14,4,13,2] [14,11,6,2] [14,11,5,3] [14,7,9,3] [14,7,10,2] [14,7,10,2] [14,6,8,5] [14,6,10,3] [14,6,10,3] [14,9,8,2] [14,4,7,8] [14,4,6,9] [14,4,10,5] [14,4,10,5] [14,4,13,2] [14,11,6,2] [14,11,5,3] [14,7,9,3] [14,7,10,2] [14,7,10,2] [14,6,8,5] [14,6,10,3] [14,6,10,3] [14,9,8,2] [4,11,8,10] [4,11,8,10] [4,11,5,13] [4,11,3,15] [4,7,9,13] [4,6,8,15] [4,6,10,13] [4,6,10,13] [4,9,10,10] [4,9,5,15] [11,7,6,9] [11,7,10,5] [11,7,10,5] [11,7,13,2] [11,6,13,3] [11,9,8,5] [11,9,10,3] [11,9,10,3] [11,10,10,2] [11,5,2,15] [7,6,10,10] [7,6,5,15] [7,9,2,15] [7,8,5,13] [7,8,3,15] [7,10,13,3] [7,10,13,3] [6,9,8,10] [6,9,8,10] [6,9,5,13] [6,9,3,15] [6,10,2,15] [6,10,2,15] [9,8,13,3] [8,10,10,5] [8,10,13,2] [8,10,13,2] [10,5,3,15] [10,5,3,15] [13,2,3,15]

Avant que j'écrive à la sagrada familia, quelqu'un peut me dire à quoi pourrait bien correspondre le nombre 310 indiqué ?

En plus, je réalise que ces combinaisons quelconques n'ont que peu d'intéret : car quelque soit l'ordre dans lequel on met les 16 nombres, le nombre de sommes égales à 33 sera toujours le même !
Ce qui présente un intérêt ce sont les regroupements de 4 nombres qui présentent une certaine symétrie (axiale ou de rotation). Quelqu'un pourrait il les dénombrer et dénombrer ceux d'entre eux dont la somme est bien égale à 33 ?

Autre exercice proposé : quelle est la probabilité que n nombres pris parmi les nombres de 1 à n² aient une somme égale à (1+2+...+n²)/n ?

carré de Subirachs suite

rferreol — Tue, 22 Aug 2006 07:33:00 GMT

En fait j'ai vu sur cette page que Subirachs est parti du célèbre carré magique de la mélancolie de Dürer, tourné de 180° :
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16

et il a retranché 1 aux 4 nombres indiqué en gras ; remarquez que c'est astucieux : il n'y a qu'un seul de ces 4 nombres dans chaque colonne, chaque ligne, chaque diagonale, les 4 4-carrés de coins et le 4-carré central : c'était indispensable pour ne pas tuer la magie du carré de Dürer !
En plus comme 11 et 12 se suivent, et de même 15 et 16, il ; n'y a que deux répétitions dans les nombres de Subirachs. Il y a donc eu du travail, d'autant plus que j'ai cherché le nombre de sommes égales à 34 dans le carré de Dürer (et d'ailleurs dans tout carré formé des nombres de 1 à 16) : il y en a 5 de moins que dans celui de Subirachs ! Mais encore une fois, il ne faudrait regarder que les combinaisons ayant une certaine symétrie.

carré de Subirachs suite 2

rferreol — Mon, 21 Aug 2006 20:33:00 GMT

J'ai reçu un mail de François Mignard qui explique les 310 combinaisons.
En effet il faut penser à prendre les combinaisons à 3, 4, 5, 6 ou 7 éléments :
2 : 0
3 : 17
4 : 88
5 : 131
6 : 66
7 : 8

Total 310

Mais encore une fois, ce 310 est une arnaque : j'ai compté le nombre de combinaisons dont la somme vaut 34 et il y en a 342 !!! D'ailleurs ce nombre augmente avec la somme pour atteindre un pic de 1364 combinaisons dont la somme vaut 66. Conclusion : le christ est mort à 66 ans !

Mais ce nombre 66 n'est pas quelconque : c'est le double de 33 donc la moitié de la somme des nombres du carré de Subirachs.

D'où une conjecture possible : étant donné n nombres, la somme S rendant maximal le nombre de combinaisons de ces n nombres dont la somme est égale à S vaut la moitié de la somme de ces n nombres, si celle-ci est paire.