Projection stéréographique à la bourse du commerce

Cinq ans sans un billet ! C'est à cause du covid :-)...

Pour une fois le math-touriste sera à Paris, à la bourse du commerce rénovée, plus précisément.
Pinault en a fait un temple de l'art contemporain, mais ce superbe batiment recèle quelques trésors mathématiques.

Tout d'abord un escalier à double révolution, moins célèbre que celui de Chambord. Ses deux rampes évitaient aux paysans montant leurs sacs de blé, de croiser ceux qui descendaient (car c'était au départ un silo à grain).

On en trouve un autre au siège de la Banque de France, rue Radzivil, et encore un à celui du Crédit lyonnais.

Voici une photo, non de la coupole, mais de son reflet sur les murs intérieurs.

On y voit bien la projection du réseau des armatures suivant méridiens et parallèles de la surface.

Et je suis tombé en admiration devant cette carte du monde représenté dans deux disques :

On peut noter que le pôle nord étant un point et non un segment, le Groenland n'a pas la dimension démesurée qu'il a sur les cartes rectangulaires classiques.
Je me suis demandé quel était le type de projection utilisé.
Manifestement les méridiens sont des arcs de cercles joignant le pôle nord et le pôle sud. J'ai un moment pensé que les parallèles étaient des cercles centrés aux deux pôles, mais non !

Manifestement les parallèles et méridiens projetés se coupent à angle droit, chaque réseau est formé des trajectoires orthogonales de l'autre.
Dans un repère évident, la famille des cercles passant par (0,1) et (0,-1) a pour équation (x-a)^2+y^2=a^2+1 ; en passant par l'équation différentielle, j'ai obtenu celle du réseau orthogonal : x^2+(y-b)^2=b^2-1 : des cercles centrés sur l'axe des y mais non concentriques...

Mais c'est bien sûr ! Le premier réseau est un faisceau de cercles à points de base, et le deuxième son faisceau conjugué !

Et y a-t-il un moyen simple de passer de la sphère au plan ?

Cette carte ne vous fait-elle pas penser à ces photos maintenant habituelles de notre planète vue du ciel ?

Ne s'agirait-il donc pas d'une projection stéréographique, autrement dit une projection centrale sur un plan ?

Mais attention, pour que les parallèles et méridiens se projettent en des cercles, il faut que le centre de projection se trouve sur la sphère.

J'ai pris le centre en (-1,0,0) ; la projection transforme M(x, y, z) en M'(1, 2y/(x+1), 2z/(x+1)).

Le tracé des méridiens et parallèles de l'hémisphère obtenu pour x >=1 donne alors ce que j'attendais :

En mettant le centre en (2, 0, 0), on obtient :

dont il faudrait éliminer les parties cachées. Les parallèles et méridiens deviennent elliptiques, comme toute section d'un cône par un plan.

Après coup j'ai retrouvé plusieurs cartes anciennes utilisant cette double projection stéréographique équatoriale, comme ce superbe exemplaire datant de 1626 dû à John Speed.

Ainsi que cette mappemonde de LaHire de 1840 : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b530937283/f1.item.zoom

où le centre de projection doit etre en dehors de la sphère , les parallèles étant elliptiques.

Souvent, la projection stéréographique est utilisée pour montrer ce qui se passe aux pôles ; le centre de projection se trouve alors au pôle opposé :

Les méridiens sont alors de simples droites, et les parallèles des cercles concentriques.